Kansrekening voor het eindexamen — uitleg en voorbeelden

Kansrekening is een van de grotere onderwerpen op het eindexamen wiskunde A (zowel HAVO als VWO). Het onderwerp klinkt abstract maar is in de praktijk heel systematisch: als je de regels kent en de opgave goed leest, zijn de meeste vragen goed te maken. Dit artikel legt alle examenrelevante onderdelen uit met concrete voorbeelden.

De basis: wat is kans?

De kans op een uitkomst $A$ schrijf je als $P(A)$. Kansen liggen altijd tussen 0 en 1:

$0 \leq P(A) \leq 1$

De kans op het complement (alles behalve $A$) is:

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Voorbeeld: De kans dat het morgen regent is 0,3. Dan is de kans dat het niet regent $1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

De complementregel is bijzonder handig als de vraag "minstens één" of "niet" bevat. Het is dan makkelijker om het complement te berekenen en dat van 1 af te trekken.

Samengestelde kansen

Voor twee gebeurtenissen $A$ en $B$:

Optellingsregel:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Als $A$ en $B$ onverenigbaar zijn (ze kunnen niet tegelijk plaatsvinden):
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Vermenigvuldigingsregel (onafhankelijke gebeurtenissen):
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Kansrekenen met bomen (kansdiagrammen)

Een kansdiagram (ook wel kansenboom) is ideaal voor opgaven met meerdere stappen of als de kansen afhankelijk zijn van een eerdere uitkomst.

Voorbeeld:
Een zak bevat 4 rode en 6 blauwe knikkers. Je trekt er twee, zonder terugleggen. Hoe groot is de kans op twee rode knikkers?

Eerste trek:
$P(\text{rood}) = \frac{4}{10} = 0{,}4$

Tweede trek (er zijn nu 3 rode en 9 knikkers totaal over):
$P(\text{rood} \mid \text{eerst rood}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$P(\text{twee rood}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 0{,}133$

Met vs. zonder terugleggen

Dit is een van de meestgemaakte fouten op het examen. Let goed op of er "zonder terugleggen" staat:

• Met terugleggen: de kansen blijven bij elke trek hetzelfde
• Zonder terugleggen: na elke trek veranderen de kansen (minder knikkers in de zak)

Voorwaardelijke kans

De voorwaardelijke kans $P(B \mid A)$ is de kans op $B$, gegeven dat $A$ al heeft plaatsgevonden.

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Voorbeeld: In een klas zijn 60% van de leerlingen meisjes. Van de meisjes doet 40% aan sport, van de jongens 70%. Een willekeurige leerling doet aan sport. Wat is de kans dat het een meisje is?

• $P(\text{meisje en sport}) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24$
• $P(\text{jongen en sport}) = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28$
• $P(\text{sport}) = 0{,}24 + 0{,}28 = 0{,}52$

$P(\text{meisje} \mid \text{sport}) = \frac{0{,}24}{0{,}52} \approx 0{,}46$

Tip: bij dit soort opgaven helpt een tabel of kansenboom om het overzicht te bewaren.

De binomiale verdeling

De binomiale verdeling gebruik je bij een reeks herhaalde experimenten waarbij:

• elk experiment precies twee uitkomsten heeft (succes of mislukking)
• de kans op succes bij elke herhaling gelijk is ($p$)
• de experimenten onafhankelijk zijn

Als je $n$ keer herhaalt met succesk kans $p$, dan is het aantal successen $X$ binomiaal verdeeld: $X \sim B(n, p)$.

Formule voor kans op precies $k$ successen:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Hierin is $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ de binomiaalcoëfficiënt.

Voorbeeld:
Een meerkeuzevraag heeft 4 opties. Een leerling gokt alle 10 vragen. Kans op succes per vraag: $p = 0{,}25$. Kans op precies 4 goede antwoorden?

$P(X = 4) = \binom{10}{4}(0{,}25)^4(0{,}75)^6 = 210 \cdot 0{,}00391 \cdot 0{,}17798 \approx 0{,}146$

Cumulatieve kansen met de grafische rekenmachine

Op het examen wordt ook gevraagd naar kansen als $P(X \leq k)$ of $P(X \geq k)$.

• Op de TI-84: gebruik binomcdf(n, p, k) voor $P(X \leq k)$
• Op de CASIO: BinomialCD

Verwachtingswaarde en standaardafwijking:
$\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$

De normale verdeling

De normale verdeling is een continue verdeling met de typische klokvorm. Ze wordt gekarakteriseerd door het gemiddelde $\mu$ en de standaardafwijking $\sigma$:

$X \sim N(\mu, \sigma)$

Op het eindexamen gebruik je de normale verdeling voor:

• Kansen berekenen met de grafische rekenmachine
• Grenzen bepalen voor een gegeven kans
• Vraagstukken over lengten, gewichten, tijden, etc.

Voorbeeld:
De lengte van 17-jarige jongens is normaal verdeeld met $\mu = 180$ cm en $\sigma = 8$ cm. Kans dat een jongen langer is dan 190 cm?

$P(X > 190) = 1 - P(X \leq 190) \approx 1 - 0{,}894 = 0{,}106$

Dus ongeveer 10,6%.

De z-waarde

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Dit transformeert elke normale verdeling naar de standaardnormale verdeling $N(0, 1)$.

HAVO vs. VWO: waar zit het verschil?

Onderdeel	HAVO	VWO
Basisregels kans	Ja	Ja
Kansdiagrammen	Ja	Ja
Binomiale verdeling	Ja	Ja, inclusiever
Normale verdeling	Ja (GR-gebruik)	Ja + analytischer
Voorwaardelijke kansen	Basisniveau	Dieper, formule gebruiken

Op VWO worden opgaven complexer: je moet vaker zelf modelleren, redeneren waarom een verdeling van toepassing is, en soms combinaties van verdelingen toepassen.

Veelgemaakte fouten bij kansrekening

1. $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ gebruiken als $A$ en $B$ niet onverenigbaar zijn
2. Met of zonder terugleggen verwarren — bij zonder terugleggen veranderen de kansen
3. Binomiaal toepassen als de experimenten afhankelijk zijn — gebruik dan een kansenboom
4. Rondingsfouten — gebruik tussendoor zo min mogelijk afgeronde waarden
5. Vergeten dat voorwaardelijke kans $\neq$ gewone kans: $P(A \mid B) \neq P(A)$

Oefentips

Kansrekening vraagt om herkenning van het type opgave. Train jezelf door per opgave altijd eerst te beslissen:

• Gaat het om onafhankelijke of afhankelijke kansen?
• Heb ik een rijtje herhaalde experimenten? → binomiaal
• Gaat het over een continu gemeten grootheid? → normaal

Bekijk ook onze andere artikelen: differentiaalrekening voor VWO of de algemene eindexamentips wiskunde.